Exemple de fonction non continue

La valeur de la fonction et la limite ne sont pas les mêmes et donc la fonction n`est pas continue à ce stade. La valeur limite est également la valeur $ $y $ $ du trou dans le graphique. Si elles sont égales, la fonction est continue à ce point et si elles ne sont pas égales, la fonction n`est pas continue à ce point. D`accord, comme l`exemple précédent l`a montré, le théorème de la valeur intermédiaire ne sera pas toujours en mesure de nous dire ce que nous voulons savoir. Si nous obtenons des valeurs différentes de gauche et de droite (un «saut»), alors la limite n`existe pas! En outre, comme la figure montre la fonction peut prendre la valeur à plus d`un endroit. Le graphe de la fonction est illustré ci-dessous pour référence. Tous les points de discontinuité sont divisés en discontinuités du premier et du deuxième type. La fonction n`est pas continue à ce stade. Dans ce cas, il n`est pas possible de déterminer si (fleft (x right) =-10 ) dans ([0,5] ) à l`aide du théorème de la valeur intermédiaire. Presque la même fonction, mais maintenant il est sur un intervalle qui n`inclut pas x = 1. En d`autres termes, quelque part entre (a ) et (b ), la fonction prendra la valeur de (M ).

Étant donné que la fonction ne s`approche pas d`une valeur finie particulière, la limite n`existe pas. Nous avons maintenant un problème. Nous apprendrons qu`une fonction est différable uniquement là où elle est continue. À partir de ce graphique, nous pouvons voir que non seulement (fleft (x right) =-10 ) dans [0,5], il le fait un total de 4 fois! Ce n`est pas une définition formelle, mais elle vous aide à comprendre l`idée. Dans cette partie, (M ) ne vit pas entre (fleft (0 right) ) et (fleft (5 right) ). Une autre conséquence très agréable de la continuité est le théorème de la valeur intermédiaire. Notez que nous avons utilisé un programme informatique pour trouver réellement la racine et que le théorème de la valeur intermédiaire ne nous a pas dit Quelle était cette valeur. Si (fleft (x right) ) n`est pas continu à (x = a ), alors (fleft (x right) ) est dit discontinu à ce stade. Le graphique dans le dernier exemple a seulement deux discontinuités car il n`y a que deux endroits où nous aurions à ramasser notre crayon à l`esquisser. C`est une discontinuité infinie. Pour qu`une fonction soit continue à un point, la fonction doit exister au point et toute petite modification de x ne produit qu`un petit changement dans`f (x) `.

Il n`exclura jamais une valeur d`être prise par la fonction. Tout d`abord, remarquons qu`il s`agit d`une fonction continue et nous savons donc que nous pouvons utiliser le théorème de la valeur intermédiaire pour faire ce problème. Notez que cette définition est également implicitement supposant que les deux (fleft (un right) ) et (mathop {lim} limits_{x To a} fleft (x right) ) existent. Avec ce fait, nous pouvons maintenant faire des limites comme l`exemple suivant.

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